《費馬大定理》是由知名导演西蒙·辛格 执导的一部紀錄片，Andrew Wiles Barry Mazur 等倾情出演，该片讲述了： 本片從證明了費瑪最後定理的安德魯‧ 懷爾斯 Andrew Wiles開始談起，描述了 Fermat& #39;s Last Theorm 的曆史始末，往前回溯來看，1994年正是我在念大學的時候，當時完全 沒有一位教授在課堂上提到這件事，也許他 們認爲，一位真正的研究者，自然而然地會被數學吸引 ，然而對一位不是 天才的學 生來說，他需要的 是老師的指引，引 導他走向更 高深的專業認知， 而指引的道路，就在科普的精神上。 從費瑪最後定理的曆史中可以發現，有許多研究成果，都是研究人員燃燒熱情，試圖提出「有趣」的命題，然後再嘗試用邏輯驗證。 費 瑪最後定理：xn+yn= zn 當 n>2 時，不存在整數解 1. 1963年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles被埃裏克‧坦普爾‧貝爾 Eric Tem ple Bell 的一 本書吸引，「最後問題 T he La st Problem」，故事從 這裏開始。 2. 畢達哥拉斯 Py thagoras 定 理，任一個直角三 角形，斜邊的平方=另外兩邊的平方和 x2+y2=z 2 畢達哥拉斯三元組：畢 氏定理的整數解 3. 費瑪 Fe rmat 在研究丟番圖 Diophantus 的「算數」第2卷的問題8時，在頁邊寫下了註 記 「不可能將一個立方數寫成兩個立方數之和；或者將一個四 次冪寫成兩 個四次冪之和； 或者，總的來 說，不可能將一個高於 2次冪，寫成兩個同樣次 冪的和。」 「對這個命題我有一個十分美妙的證明，這裏空白太小 ，寫不下。」 4. 1670 年，費瑪 Fermat的兒子出版了載有Fermat註記的「丟番 圖的算數」 5. 在Fermat的其 他註記中， 隱含了對 n=4 的 證明 => n=8, 12, 16, 20 ... 時無解 萊 昂哈德‧歐拉 Leonh ard Euler 證明了 n=3 時無解 => n=6, 9, 12, 15 ... 時無解 3是質數，現在只要證明費瑪最後定理對於 所有的質數都成立 但 歐基裏 德 證明「存在無窮 多個質數」 6. 1776年 索菲‧熱 爾曼 針對 (2p+1)的質數，證 明了 費瑪最後定理 "大概& quot; 無解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞 -狄利克 雷 和 阿得利昂-瑪利埃‧勒讓德 延伸熱爾曼的 證明，證明了 n=5 無解 8. 1839年 加 布裏爾‧拉梅 Gabriel Lam e 證明了 n=7 無解 9. 1847年 拉梅 與 奧古斯汀‧路易斯‧科西 Augus ti Lou is Cauc hy 同時宣稱 已經證明了 費瑪 最後定理< br/> 最 後是劉維爾宣讀了 恩斯特‧庫默爾 Ernst Ku mmer 的信， 說科西與拉梅的證明 ，都因爲「虛數沒有唯一因子分解 性質」而失敗 庫默爾證明了 費瑪 最後定理的完整證明 是當時數學方法不可能實現的 10.1908年 保羅‧沃爾夫斯凱爾 Paul Wolfsk ehl 補救了庫 默爾的證明 這表示 費瑪最後定理的完整證明 尚未 被解決 沃爾夫斯凱爾提供了 10萬馬克 給提供證 明的人，期限是到2007年9月13日止 11.1900年 8月8日 大衛‧希爾伯特 ，提出數學上23個未解決的問題且相 信這是迫切需要解決的重要問題 12. 1931年 庫特‧哥德爾 不可判定性定理 第一 不可判定性定理 ：如果公 理集合論是相容的，那 麽存在既不能證明又不能否 定的定理。 => 完全性 是不可能達到的 第二不可判定 性定理： 不存在能證 明公理系統是相容的構造性過程。 => 相容性永遠不可能證明 13.1963年 保羅‧科恩 Pa ul Cohen 發展了可以檢驗 給定問題是 不是不可判定的方法（只適用少數情形） 證明希爾伯特2 3個問題中，其中一個「連續統假設」問題是不可判定的，這對於費瑪最後定理來說是一大打擊 14.19 40年 阿倫‧圖 靈 Alan Turi ng 發明破譯 Enigma編 碼 的反轉機 開始有人利用暴力解決方法，要對 費瑪最後定理 的n值一個一個 加以證明。 15.1988年 內奧姆 ‧埃爾基斯 Naom El kies 對於 Euler 提出 的 x4+y4+z4=w4 不存在解這個推想，找到了一個反例 26824404+153656 394+1879604=206156734 16.1975年 安德 魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 師承 約 翰‧科次，研究橢圓曲線 研究橢圓曲線的目的是 要算出他們的 整數解，這跟費瑪最後定理一樣 ex: y2=x3-2 只有 一組整數解 52=33 -2 (費瑪證明宇宙中指存在一個數26，他是夾在一個平方數與一 個立方數中 間) 由於要直接找出橢圓曲線是很困難的，爲了簡化問題，數學家採用「時 鐘運算」方 法 在五格時 鐘運算中， 4+2=1 橢圓方程式 x3-x2=y2+y 所有可能 的解爲 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0 ) (1, 4)，然後可用 E5= 4 來代表在 五格時鐘運算中，有四個解 對於橢圓曲線，可寫 出一個 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1 954年 至村五 郎 與 谷山豐 研究具有 非同尋常的對 稱性的 modular form 模型式 模 型式的要 素可從1開始標號 到無窮（M1, M2, M3, . ..） 每個 模型式的 M序列 要素個數 可 寫成 M1=1 M2=3 .... 這樣的範例< br/> 1955年9月 提出模型式 的 M序列 可以 對應到橢圓曲線的 E 序列，兩個不同領域的理論突然 被連接在一起 安德列‧韋依 採納這個想法，「谷山-志村猜想」 18.朗蘭 茲提出「朗蘭茲綱領」的計畫，一個統一化猜 想的理論，並開始尋找統一的環鏈 19.1984年 格哈 德‧弗賴 Gerhard Fr ey 提出 (1) 假 設費瑪最後 定理是錯的，則 xn+yn=zn 有整數解 ，則可將方程式轉換爲y2= x3+(AN -BN)x2-ANBN 這樣的橢圓方程式 (2) 弗賴橢圓方程式太古怪了，以致於 無法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 斷言每一個橢圓方程式都可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是錯誤的 反過來說 ( 1) 如果 谷山- 志村猜想 是對的， 每一個橢圓方程式都可以被模型式化 (2) 每一個橢圓 方程式都可以被模型式化，則不存在 弗賴橢圓方程式 (3) 如果不存在弗賴橢圓方程式 ，那麽xn+yn=zn 沒 有整數解 (4) 費瑪最後定理是對的 20.1986年 肯 ‧貝裏特 證明 弗賴橢圓方程式無法被模型式化 如果有人能夠證明 谷山-志村猜想 ，就表示費瑪最後定理 也是正確的 21.1986年 安德魯‧懷 爾斯 Andrew Wiles 開始一個小陰謀 ，他每隔6個月發表 一篇小論文 ，然後自己獨力嘗試證 明谷山-志村猜想 ，策略是利用 歸納法，加上 埃瓦裏斯特 ‧伽羅瓦 的群 論，希望能將 E序列以「 自然次序」一一對應到M 序列 22.1988年 宮岡洋一 發表利用微分幾何學證明谷山- 志村猜想，但結果失敗 2 3.1989年 安德魯‧懷爾斯 Andr ew Wiles 已經將橢圓方程式拆解成無限多項，然後也證明 了第一項必 定是模型式的第一項，也嘗試利用 依娃沙 娃 Iwasawa 理論，但結果失敗 24. 1992年 修改 科利瓦金 -弗萊契 方法，對所 有分類後的橢圓方程式都奏效 25.1993年 尋求同事 尼克‧凱茲 Nick K atz 的協助，開始對 驗證證明 26.1993年 5月 「L -函數和算術」會議，安德魯‧懷爾斯 Andr ew Wiles 發表 谷山-志村猜想的證明 27.1993年9月 尼克‧凱茲 Nick Katz 發現一個重大缺 陷 安德 魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 又開始隱居，嘗試獨力解決缺陷 ，他不希望在這 時候公布證明 ，讓其他人分享 完成證明的甜美果實 28.安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 在接近放棄的邊緣，在彼得‧薩納克的建議下，找到理查德‧泰勒的協助 29.1994年9月19日 發現 結合 依娃沙娃 Iwasawa 理論與 科利瓦金 -弗萊契 方法就能夠完全解決問題 30.「谷 山-志村猜想」被證明了，故得證「費瑪最後定理」 ii 費馬 大定理 300多年以前，法國數學 家費馬在一本書的空白處寫下了一個定理：“設n是大于2的正整數，則不定方程xn+yn=zn沒 有非零整數解”。 費馬 宣稱他發現了這 個定理的一個真正奇妙的證明 ，但因書上空白太 小，他寫不 下他的證明。300多年過 去了，不知有多少專業數學家和業余數學愛好者絞盡腦汁企圖證明它，但不是無功而返就是進展甚微。這就是純數學 中最著名 的定理—費馬大定理。 費馬(1601年～166 5年)是一位具有傳奇色彩的數學家，他最初學習法律並以當律師謀生，後來成爲議會議員，數學只不過是他的業余愛 好，只能利用閑暇來研 究。雖然年近3 0才認真注意數學，但費馬對數論和微積分做出了第一流的貢獻。他與笛 卡兒幾乎同時創立了解 析幾何，同時又是17世 紀興起的概率論的探索者之一。費馬特別愛好數論，提出了許多定理，但費馬只對其中一個定理給出了證明要點，其他定理除一個被證明是錯的，一 個未被證明外，其余的陸續被後來的數學家所證實 。這唯一未被證明的定理就是上面所說的費馬大定理， 因爲是最後一個未被證明對或錯的定理， 所以又稱爲費馬最後定理。 費馬大定理雖 然至今仍沒有完全被證明，但已經有了很大進 展，特別是最近 幾十年，進展更快 。1976年瓦格斯 塔夫證明了對小于105的素數費馬大定理都成立。1 983年 一位年輕的德國數學家法爾廷斯證明了不定 方程xn+yn=zn只能有有限 多組解，他的突出貢獻使他在1986年獲得了數學界的最高獎之一費爾茲獎。1993年英國數學家 威爾斯宣布證明了費馬大定理，但隨後發現了證明中的一個漏洞並作了修正 。雖然威爾斯證明費馬大定理還沒有 得到數學界的一致公認，但大多數數學家認爲他證明的思路是正確的。毫無疑問，這使人們看到了希望 。 爲了尋求費馬大定理的解答，三 個多世紀以來，一代 又一代的數 學家們前赴後繼，卻壯志未酬。1995年，美國普林斯頓 大學的安德魯·懷爾斯教 授經過8年的 孤軍奮戰，用 13 0頁長 的篇幅證明 了費馬大定理。懷爾斯成爲整個數學界的英雄。 費馬大定理提 出的問題非常簡單，它是用一個每個 中學生都熟悉的數學定理— —畢達 哥拉斯定理——來表達的。2000多年前誕 生的畢達哥拉斯定理 說：在一個直 角三角形中， 斜邊 的平方等于兩直角邊的平方之和。即X2＋Y2= Z2。大約在公元1637年前後 ，當費馬在 研究 畢達哥拉斯方程時 ，他寫下一個方程，非常類似于畢達哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,當 n 大于2 時，這個方程沒有任何整數 解。費馬在《算術》這本書的靠近問 題8的頁邊處記下這 個結論的同時又寫下一個附加的評注：“對此，我確信已發 現一個美妙的證法，這 裏的空 白 太小，寫不 下。”這就是 數學史上著名的費馬大定理或稱費馬最後的定理。 費馬制造了 一個數學史上最深奧的謎。 大問題 在物理學、化學或生物學中，還 沒有任何問題可以敘述得 如此簡單和清晰，卻 長久不 解。E·T·貝爾(Eric Temple Bell)在他的《大問題》(The Las t Problem)一 書中寫到， 文明世界也許在費馬 大定理得以解決之前就已走到了盡頭。證明費 馬大定理成爲數 論中最 值得爲之奮鬥的事。 安德魯·懷爾斯1953年出生 在英國劍橋，父親是一位工程學教授。少年時代 的懷爾斯 已著迷于數學了。他在後 來的回憶中寫到：“在學校裏 我喜歡做題目，我把它們帶 回家， 編寫成我自己的新題目 。不過我以前找到的最好的題目 是在我們社區的圖書館裏 發現的。 ”一天，小懷爾斯在彌爾頓街上 的圖書館看見了一本書，這本書只有一個問題而沒有解答 ,懷爾斯被吸引住了。 這就是E·T· 貝爾寫的《大問題》。它敘述了費馬大定理的曆史，這個定理讓 一個又 一個 的數學家望而生畏，在長達 300多年的時間裏沒有 人能解決它。懷爾斯30多 年後回憶 起被引向費馬大定理時的感覺：“它 看上去如此簡單，但曆史上所有的大數學家都未能解 決它。這裏正擺著我 ——一個10歲的孩 子——能理解的問題，從那個 時刻起，我知道我永 遠不會放棄它。我必須解決它。” 懷爾 斯1974年從牛津大學的Merton學院獲得數學學士學位，之後進入劍橋大學Cl are 學院做博士。在研究生階段，懷爾斯並沒有從事 費馬大定理研究。他說：“研究費馬可能 帶來的問題 是：你花費了多年的時 間而最終一事無成。 我的導師約翰·科茨(John Coate s)正在研究橢圓曲線的Iwasawa理論，我開始跟隨他工作。” 科茨說：“我記得一位同事 告訴 我，他有一個非常好的、剛 完成數學學士 榮譽學位第三部考試的學生，他催促我收其 爲 學生。我非常榮幸有安 德魯這樣的學生。即使從對研究生的要求 來看，他也有很深刻的 思想 ，非常清楚他將是一個做大事情的數學家 。當然，任何研究生在 那個階段直接開始 研 究費馬大定理是不可能的，即使對資曆很 深的數學家來說，它 也太困難了。”科茨 的責任 是爲懷爾斯找到某種至少能使他在 今後三年裏有興趣去研究的問題。他說：“我認爲研究 生導 師能爲學 生做的一切就是設法把他推 向一個富有 成果的方向。當然，不能保 證它一定 是一個富有成果的 研究方向，但是也許年長的數學家 在這個過程中能做的一件事是使 用他 的常識、他對好領域的直覺。然後，學生能在這個方向上有多大 成績就是他自己 的事了。 ” 科茨決定懷爾 斯應該研究數學中稱爲橢圓曲線的 領域。這個決定成 爲懷爾斯職業 生涯中的 一個轉折點，橢圓 方程的研究是他實現夢想的工具。 孤獨的戰士 1980年懷爾 斯在劍橋大學取得博士學位後來到了美國普林斯頓大學，並成爲這所大學 的 教授。在科茨的指導下，懷爾斯或許比 世界上其他人 都更懂得橢 圓方程，他已經成爲一 個著名的數論學家，但他清楚地意識到，即使以他 廣博的基礎知 識和數學修養，證明費 馬 大定理的 任務也是極爲 艱巨的。 在懷爾斯的費馬大定理的證明中，核心是證明“ 谷山－志村猜想”，該 猜想在兩個非 常不同的數學領域間建立了一 座新的橋梁。 “那是1986年夏 末的一個傍晚 ，我正在一個朋 友家中啜飲冰茶。談話間他隨意 告訴我，肯·裏貝特已經證明了谷山－志村猜想與費馬大 定理間的聯系。我感到極大的震動。我記 得那個時刻，那個改變我生命 曆程的時刻，因爲 這意味著爲了證明費馬大定理，我必須做 的一切就是證明谷山－志村猜想……我十分清楚 我應該回家去研究谷山－志村猜想。”懷爾斯望見了一條實現他童年夢想的道路 。 2 0世紀初，有人問偉大 的數學家 大衛·希爾伯特爲什麽不去嘗試證明費馬 大定理，他 回答說：“在開始著手之前 ，我必須用3年的時間作 深入的研 究，而我 沒有那麽多的時間 浪費在一件可 能會失敗的事情上。”懷爾斯知道 ，爲了找到證明 ，他必須 全身心地投 入到 這個問題中，但是與希 爾伯特不一樣，他願意冒這個風險。 懷爾斯作 了一個重大的決定：要完全獨立和保密地 進行研究 。他說：“我意識到與費 馬大定理有關的 任何事情都會引起 太多人的興趣。你確實不 可能很多年都使自己精力集中 ，除非你的專心不被他 人分散，而這一點會因旁觀者太多而做不到。”懷爾 斯放棄了所有 與證明費 馬大定理無直接關系 的工作，任何時候只 要可能他就回到 家裏工作，在家裏 的頂 樓書房裏他開始了通過谷山－志村猜想來證明費馬大定理的戰鬥。 這是一場長達7年的持久戰 ，這期間只有他的 妻子知道他在證明費馬大 定理。 歡呼與等待 經過7年的努力，懷爾斯完成了谷山－志村猜想的證明。作爲一個結果，他也證 明了 費馬大定理。 現在是向世界公布 的時候了。 1993年6月底，有一個重 要的會議要 在劍橋大 學的牛頓研究所舉行。懷爾斯 決定利用這個機會向一群傑出的聽衆宣布 他的工作。他 選擇 在牛頓研究所宣布的另外 一個主要原因是 劍橋是他的家鄉，他曾經是那裏的一 名研究生。 1993年6月23日，牛頓 研究所舉行了20世紀最重要的一次 數學講座。兩百名數學 家聆 聽了這一演講，但 他們之中只有四分之 一的人完全懂得黑板 上的希臘字 母和代數式所表達 的意思。其余的人來這裏是爲 了見證他們所期待的一 個真正具 有意義的時刻。 演講者是安 德魯·懷爾斯。懷爾斯回憶起 演講最後 時刻的情景：“雖然新 聞界已經刮起有關演講的風 聲，很幸運他們沒有來聽演講。但是聽衆 中有人拍攝了演 講結束時的鏡頭，研 究所所長肯 定事先就准備 了一瓶香槟酒。當我 宣讀證明時，會場上保持著特別莊重的寂靜，當我寫完 費馬大定理 的證明時，我說：‘我 想我就在這裏 結束’，會場上爆發出一陣持久的鼓掌聲 。” 《 紐約時報》在頭版以《終于歡呼“我發現了!”，久遠的數學之謎獲解》爲題報道 費馬大定理被證明的消息。一夜之間 ，懷爾斯成 爲世界上最著名的 數學家，也是唯一的數 學家。《 人物》雜志將懷爾斯與戴安娜王妃一起列爲“本年度2 5位最具魅 力者”。最有創 意的贊美來自一家國際制衣大公司，他 們邀請這位溫文爾雅的天才作他們新系列 男裝的模 特。 當懷爾斯成爲媒體報道的 中心時，認真核對這個證明的工作也在進行。科學的程序要 求任何數學家將完整的手 稿送交一個有聲望的刊物，然後這個刊物的編輯將它送 交一組審 稿人，審稿人的職責是進行逐行的審查證明。懷 爾斯將手稿投 到《數學發明》， 整整一個 夏 天他焦急地等待審稿人的意見，並祈求能得到他們的祝福。可是，證明的一個缺陷被發 現了。 我的心靈歸于平靜 由于懷爾斯的論文涉及到大量的數學方法， 編輯巴裏· 梅休爾決定不像通常 那樣指定 2－3個審稿人，而是6個審稿人。200 頁的證明被 分成6章，每位審稿人負責其 中一章。< br/> 懷爾斯在此期間中 斷了他的工作，以 處理審稿人在電子郵件中提 出的問題，他自信這 些問題不會給他造成很大的麻煩。尼克·凱茲負責審查第3章，19 93年8月23日 ，他發現了 證明中的一個小缺陷。數學的絕對 主義要求懷爾斯無可 懷疑地證明他的方法 中的每一步都 行得通。懷爾斯以爲這又是 一個小問題，補救的辦法可能就在近 旁，可是6個多月過去了 ，錯誤仍未改正，懷爾斯面臨絕境 ，他准備承認失敗。他向同事彼 得·薩克說明自己的情 況，薩克向他暗示困難的一部分在于 他缺少一個能夠和他討 論問題並且可信賴的人。經 過 長時間的考慮後，懷爾斯決定邀請劍橋大學 的講師理查德·泰勒到普林斯 頓和他一起工作 。 泰勒1994年1月 份到普林斯頓，可是到了9月，依然 沒有結果，他們 准備放棄了 。泰勒 鼓勵他們再堅持一個月。懷爾斯決定在9月底作最後一次檢查。9月19日，一個星期一的早 晨，懷爾斯發現了問題的答案，他敘述了這一時刻：“突然間，不可思議地，我有了一個 難以置信的發現。這是我的事業中最重要的時刻， 我不會再有這樣的經曆……它的美是如 此地難以形容； 它又是如此簡單和優美。20多分鍾的時間我呆望它不敢相信 。然後白天我 到系裏轉了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在 ——它還在那裏。” 這是少 年時代的夢想和8年潛心努 力的終極，懷 爾斯終于向世界證明了 他的才能。世 界不再懷疑 這一次的證明了。 這兩篇論文總共有 130頁 ，是曆史 上核查得最徹底的數學稿 件，它們發表在1995年5月 的《數學年刊》上 。懷爾斯再一次出 現在《紐約時報》的 頭版 上，標題是《數學家稱經典之謎已解決》。約翰·科茨說：“用數學的 術語來說，這個最 終的證明可與分裂 原子或發現DNA的結構相比 ，對費馬大定理的證明是人類智力活動的 一 曲凱歌 ，同時，不能忽視的事實是它一下子就 使數學發生了革命性的變化。對我說來，安 德魯成果的美和魅力在于它是走向代數數論的巨大的一步。” 聲望和榮譽紛至沓來 。1995年，懷爾斯獲得瑞典皇家學會頒發的Schock數學獎，199 6年，他獲得沃爾夫獎， 並當選爲美國科學院外籍院士。 懷爾斯說：“……再沒有別的問題能像費 馬大定理一樣對我有同樣的意義。我擁有 如 此少有的特權，在我的成年時期實現我童年的夢想……那段 特殊漫長的探索已經結束了， 我的心已歸于平靜。”< br/> 費馬大定 理只有在相對數學理論 的建立之後，才會得到最滿意的答案。相對 數學理論沒有完成之前，談這個問題是無 力地.因爲人 們對數量和自身的認識，還沒有達到 一定的高度. iii 費馬大定理 與懷爾斯 的因果律-美國公衆 廣播網對懷爾斯的專訪 358年 的難解之謎 數學愛好者費馬提出的這個問題非常簡單，它用一個 每個中學生都熟 悉的數學定理— —畢達哥拉斯定理來表達。200 0多年前誕生的畢達哥拉斯定理說：在一個直角三角形中，斜邊的平方等于兩個直角邊的平方之和。即X2+Y2=Z 2。大約在公元 1637年前後 ，當 費馬在研究畢達哥拉斯方程時，他 在《算術》這本書靠近問題8的頁邊 處寫下了這段文 字：“設n是大于 2的正整數，則不定方程 xn+yn=zn 沒有非整數解，對此，我確信已發現一個美妙的證法，但這裏的空白太小，寫不下。” 費馬習慣在頁邊寫下猜想，費馬大定理是其中困擾數學家們時間最長的 ，所以被稱爲Fer mat’s Last Theorem（費馬 最後的定理）——公認爲有 史以來最著名的數學猜想。 在暢銷書作家西蒙·辛格（S imon Si ngh）的筆下，這段神秘留言引發的長達358年的獵逐 充滿了驚險 、懸疑、絕望和狂喜。這段曆史先 後涉及到最多産 的數學大師歐拉、最偉大的數學家 高斯、由業余轉爲職業 數學家的柯西、英年早逝 的天才伽羅瓦、理論兼試驗大師庫默爾 和被譽爲“法國 曆史上知識最爲高深的女性”的蘇菲·姬爾曼……法國數學天才伽羅瓦的遺言、日本數學界 的明日之星谷山豐的神秘自殺、德國數學愛好者保羅·沃爾 夫斯凱爾最後一刻的舍死求生等等 ，都仿佛是冥冥間上帝導演的宏大戲劇中的一幕，爲最後謎底的解開埋下伏筆。終于，普林斯頓 的懷爾斯出現了。他找到謎底，把這出戲推向高潮並戛然而止，留下一段耐人回味的傳奇。 對懷爾斯而言，證明費 馬大定理不僅是破譯一個難解之謎，更是去 實現一個兒時的夢想。“ 我10歲時在圖 書館找到一本 數學書，告訴我有這麽一個問題，300多年前就已經有人解決了它，但卻沒有人看到過它的證明，也無人確信是否有這個證明，從那以後，人們 就不斷地求證。這是一個10歲小孩就能 明白的問題，然後曆史上諸多偉大的數學 家們卻不能解答。于是從那時起，我就試過解決它，這個問題就是費馬大定理。” 懷爾斯 于1970年先後在 牛津大學和劍橋大 學獲得數學學士和數學博士學位。“ 我進入劍橋時，我真正把費馬大定理擱在一邊 了。這不是 因爲我忘了 它，而是我 認識到我們所掌握的用來 攻克它的全部技術已經反複使用了130年。而 這些技術似乎沒 有觸及問題根本。”因爲擔心耗費太多時 間而一無所獲，他“暫時放下了”對 費馬大定理的思索 ，開始研究橢圓曲線理 論——這個看似與證明費馬大定理不相關的理論後來卻成爲他實現夢想的工具。 時間回溯至20世紀60年代，普林斯頓數學家朗 蘭茲提出了 一個大膽的猜想：所有主要數學領域之間原本就存在著的統一的鏈接。如果這個猜想被證實，意味著在某個數學領域中無法解答的任 何問題都有可能通過這種鏈接被轉換成另 一個領域中相應的問題 ——可以被一整套新方案解決的問題。而如果在另一個領域內仍然難以找到答案，那麽可以把問題再轉換到下一個數學領域中……直到它被 解決爲止 。根據朗蘭茲綱領，有一天，數學家們將能夠解決曾 經是最深奧最難對付的問題—— “辦法是領著這些問題周遊數學王國的各個風景勝地”。這個綱領爲飽受哥德爾不完備定理打擊的費馬 大定理證明 者們指明了救贖之路——根據不完 備定理，費馬大定理是不 可證明的。 懷 爾斯後來正是依賴于 這個綱領才得以證 明費馬大定理的：他 的證明——不同于任何前人的嘗試——是現代數學諸多分支（橢圓曲線論，模形式理論，伽 羅華表示理 論等等)綜合發揮作用的結果。20世紀50年 代由兩位日本數學家（谷山豐和志村五郎）提出的谷山— 志村猜想（Tan iyama-Shimura conjectu re）暗示：橢圓方程與模形式兩個截然不同的數學島嶼間隱藏著一座溝通的橋梁。隨後在19 84年， 德國數學家格哈德·費 賴（Gerhard Frey）給 出了如下猜想：假如谷山— 志村猜想成 立，則費馬大定理爲真。這個猜想緊接著在19 86年被肯·裏貝特（Ken Ribet）證明。從此， 費馬大定理不可擺脫 地與谷山—志村猜想鏈接在一起：如 果有人能證明谷山—志村猜想（即“每一個橢圓方程都 可以模形式化”），那麽就證明了費馬大定理。 “人類智力活動的一曲凱歌” 懷爾斯詭秘的行蹤讓普林斯頓的著名數學家同事們困惑。彼得·薩奈克（Pe ter S arnak ）回憶說：“ 我常常奇 怪懷爾斯在做些什麽？…… 他總是靜 悄悄的，也許他 已經‘黔 驢技窮’了。”尼克·凱茲則感歎到： “一點暗示都沒有！”對于這次驚天“大預謀”，肯·裏比特（Ken Ribet)曾評價說：“這 可能是我平生 來見過的唯一例子，在如此長的時間裏沒有泄露任何有關工作的信息。 這是空前的。 1993年晚 春，在經過反複的試錯和絞盡腦汁的演算，懷爾斯終于完成了谷山—志村猜想的證明。作爲 一個結果，他也證明了費馬大定理。彼得 ·薩奈克是最早得知此消息 的人之一，“我目瞪口呆、異常激動、 情緒失常…… 我記得當晚我失眠了”。 同年6月，懷爾 斯決定在劍橋大學的大型系列講座上宣布這一證明。 “講座氣氛很熱烈，有很多數學界重要人物 到場，當大家終于 明白已經離證明費 馬大定理一步之遙 時，空氣中充滿了 緊張。” 肯·裏比 特回憶說。巴裏 ·馬佐爾（Barry Maz ur）永遠也忘不了那一 刻：“我 之前從未看到過如此精彩的講座，充滿了美妙的、聞所未聞的新思想， 還有戲劇性的 鋪墊，充滿懸念，直到最後到達高潮。”當懷爾斯在講 座結尾宣布他證明了費馬大 定理時，他成了全世界媒 體的焦點。《紐約時報》在頭版以《終于歡呼“我發現 了!”久遠的數學之謎 獲解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Ag e-Old Math M ystery ”）爲題報道費馬大定理被證明的消息。一夜之 間，懷爾 斯成爲世 界上唯一的數學家。《人 物》雜志將懷爾斯與戴安娜王妃一起列 爲“本年度25位最 具魅力者”。 與此同時，認真核對這個證明的工作也在進 行。遺憾的是，如同這之前 的“費馬大定理終結者 ”一樣，他的證明是有缺陷的。懷爾斯現在不得不在巨大的壓力之下修正錯誤，其間數度感 到絕望。John Conway曾在美國公衆廣播網（PBS）的訪談中說: “當時我 們其他人（懷 爾斯的同事）的行 爲有點像‘蘇聯政體研究者’，都想知道他的想法和修正錯誤的進展，但沒 有人開口問他。所以，某人會說，‘我今天早上看到懷爾斯了。’‘他 露出笑容了嗎？’‘他倒是有微笑，但看起 來並不高興。’” 撐到 1994年9 月時，懷爾斯准備放棄了。但他臨時邀請 的研究搭檔泰勒鼓勵他再堅持一個月。就在截 止日到來之前兩周， 9月19日 ，一個星期一的早晨，懷爾斯發現了問題的答案，他敘述了這一時刻 ：“突然間，不可思議 地，我發現了它……它美得難以形 容，簡單而優雅。 我對著它發了20多分鍾 呆。然後我到系裏轉了一圈，又回到桌子 旁看看它是否還在那裏——它確實還在 那裏。” 懷爾斯的證明爲他贏得了最慷慨 的褒揚，其中最具代表性的是 他在劍橋 時的導師、著名數學家約翰·科茨的評價： “它（證明）是人類智力活動的一曲凱歌”。 一場曠日持久的獵逐就此結束，從此費馬大定理與安德魯·懷爾斯的名字 緊緊地被綁在了一起，提 到一個就不得不提到另外一個。這是費馬 大定理與安德魯·懷爾斯的因果律。< br/> 曆時八年的最終證明 在懷爾斯不多 的接受媒體采訪中，美 國公衆廣播網（PB S）NOVA節目對懷爾 斯的專訪相當精彩 有趣，本文節選部分以飨讀者。 七年孤獨 NO VA：通常人們通過團 隊來獲得工作上 的支持，那麽當 你碰壁時 是怎麽解決問題的呢？ 懷爾斯 ：當我被卡住時我會沿著湖邊 散散步，散步的好處是使你會處 于放松狀態，同時你的潛意識卻在繼續工作。通常遇到困擾時你並 不需要書桌，而且我隨時把筆紙帶上，一旦 有好主意我會找 個長椅坐下來打草稿 …… NOVA：這七年 一定交織著自我懷疑與成功……你不可 能絕對有把握證明。 懷爾斯：我確實相信自己在正確的 軌道上， 但那並不意 味著我一定能達到目標—— 也許僅僅因爲解決難 題的方法超出現有的數學，也許我需要的方法下個世紀也不會出現。所以即便我在正確 的軌道上，我卻可能生活在錯誤的 世紀。 N OVA： 最終在1993年， 你取得了突 破。 懷爾斯：對，那是個5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子們出去了 。我坐在書桌前思 考最後的步驟，不經意間看 到了一篇 論文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一個19世紀的數學結構，我霎時意識到這就是我該用的。我不停地工作，忘記下樓午飯 ，到下午三四點時我確 信已經證明了費馬大定 理，然後下樓 。Nada很吃 驚，以爲我這 時才回家，我告訴她，我解決了費馬大定理。 最後的修正 N OVA：《紐約時報 》在頭版以《終 于歡呼“我發現了!”，久遠的數學之謎獲解》，但他們並不知道這 個證明中有個錯誤。 懷爾斯：那是個存在于關鍵推導中的錯誤，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我無法用簡單的語言描述，就 算是數學家也需要研習兩三個 月才能弄懂。 N OVA：後來你邀請劍橋的數學家理查德·泰勒來協助工作，並在1994年修 正了這個最後的錯誤。問題是，你的證明和費馬的證明是同一 個嗎？ 懷爾 斯：不可能。這個證明有1 50頁長，用的是 20世紀的方 法，在費馬時代還不存在。 NOVA：那就 是說費馬的最初證 明還在某個未被發現 的角落？ 懷爾斯：我不相信他有證 明。我覺得他說已經找到解答了是 在哄自己。這個難題對業余愛好者如此特別在于它 可能被17世紀的數學證明，盡管可能性極其微 小。 NOVA：所以也許還有數 學家追尋這最初的證 明。你該怎麽辦呢？ 懷爾斯：對我來說都一樣，費馬是我童年的熱望。我會再試其他問 題……證明了 它我有一絲傷感 ，它已經和我們一起這麽久了……人們對我說“你把我 的問題奪走了”，我能帶 給他們其 他的東西嗎 ？我感覺到有責任。 我希望通過解決這個問題帶來的興奮可以激勵青年數學家們 解決其他許許多多的難題。 i v 谷山-志村定理(Taniyama-Shi mura theorem)建立了橢圓曲線(代數幾何的對象)和模形式(某種數 論中用到的周期性 全純函數)之 間的重要聯系。雖然名字 是從谷山-志村 猜想而來,定理的證 明是由安德魯· 懷爾斯, Chr istophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一個質數而E是一個 Q(有理數域)上的一個橢圓曲線 ，我們可以簡化定義 E的方程模p;除了有 限個p值，我們 會得到有np個元素 的有限域F p上的一個橢圓曲線。然後考慮 如下序列 ap = np − p, 這是橢 圓曲線E的重要的不變量 。從傅裏葉變 換，每個模形式也會産生一個數列。一個 其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫 做模的。 谷山-志村定說: "所有Q上 的橢圓曲線是模的&qu ot;。 該定理在 1955年9月由谷 山豐提出猜想。到1957年爲止，他和志村五郎一起改進 了嚴格性。谷山于1958年自殺身亡。在 1960年代，它和統一數學中的猜想Lang lands綱領聯系了起 來，並是關鍵的組成部 分。猜想由André Weil于1970年代重新提起並得到推 廣，Weil的名字 有一段時間和它聯系在一起 。盡管有明顯的用處，這個問題的深度在後來 的發展之前並未被人們所感覺到。 在1980年 代當Gerhard Freay建 議谷山-志村 猜想(那時還是猜想)蘊含著費馬最後定理的時候，它吸引到了 不少注意力。他通 過試圖表明費 爾馬大定理的任何範 例會導致一個非模的 橢圓曲線來做到這一點。 Ken Ribet後來證明了這一結果。在19 95年， Andrew Wiles和Richard Taylor證明了谷山-志村定理 的一個特殊情況(半 穩定橢圓曲線的情況)，這個特殊情況足以證明費 爾馬大定理。 完整的證明最後 于1999年由 Breuil,Co nrad ,Dia mond,和Taylor作出，他們 在Wil es的基礎 上，一塊一塊的逐步證明剩下的情況直 到全部完成。 數論中類似于費爾馬最後定理得幾 個定理可 以從谷山-志 村定理得到。例如:沒有立方 可以寫成兩個互 質n次冪的和, n ≥ 3. (n = 3的情況已爲歐拉所知) 在1996 年三月，Wiles和Robert Langland s分享了沃爾夫獎。雖然他們都沒有完成給予他們這個成就的定理的完整形式 ，他們還是被認爲對最終完 成的證明有著決定性影響 。 陆灵蹊眨了眨眼，很干脆地把当 初在奇怪岛 石殿抢来的黑漆 漆大鼎放到院中，“ 老祖，您看它到仙级了吗？我筑基中期就得到它 了，一直想打开它，可是，结丹的 时候打不开，元婴以后还是 打不开。到了化神，我一直 忙，就把它忘了，您帮我瞅瞅，若是能用您就用
