《費馬大定理》是由知名导演西蒙·辛格 执导的一部紀錄片，Andrew Wiles Barry Mazur 等倾情出演，该片讲述了： 本片從證明了 費瑪最後定理的安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles開始談起，描 述了 Fermat's Last Theorm 的曆史始末，往前回溯來看，199 4年正是我在念大學的 時候，當時完全沒有一位教授 在課堂上提到這件事，也許他們認爲， 一位真正 的研究者，自然而然地會被數學吸引，然而對一位不 是天才的學生來說，他需要的是老師 的指引，引導他走向更高深的專業認知，而指引的道路，就在科普的精神上。 從費瑪最後定理的曆史中可以發現，有許多研究成果，都是研究人員燃燒 熱情，試圖提出「有 趣」的命題 ，然後再嘗試用邏輯驗 證。 費瑪最後定理：xn+yn=zn 當 n> 2 時，不存 在整數解 1. 1963年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles被埃裏克‧坦普爾‧貝爾 Eric Temple B ell 的一本書吸引，「最後問題 The Last Problem」，故事從這裏開 始。 2. 畢達哥拉斯 Pythagor as 定理 ，任一個直 角三角形 ，斜邊的平方=另外兩邊的 平方和 x2+y2= z2 畢達哥拉斯 三元組：畢氏 定理的整數解 3. 費瑪 Fermat 在研究丟番圖 Di ophantus 的「算數 」第2卷的問題8時，在頁 邊寫下了註記 「不可能將一個立方數寫成 兩個立方數之和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪之 和；或者，總的來說，不可能將一個高於2次冪，寫成兩個同樣次冪的 和。」 「對這個 命題我有一個十分美 妙的證明，這裏空白太 小，寫不下。」 4. 1670年，費瑪 Fermat的 兒子出版了載有Fermat註記的「丟番圖的算數」 5. 在Fer mat的其他註記中，隱含了對 n=4 的證明 => n= 8, 12, 16, 20 ... 時無解 萊 昂哈德‧歐拉 Leonhard Euler 證明了 n=3 時無解 => n=6, 9, 12, 15 ... 時無解 3是質數，現在只要證明費瑪最 後定理對於所有的質數 都成立 但 歐基裏德 證明「存在無窮多個質數」 6. 1776年 索菲‧熱爾曼 針對 (2p+1)的質 數，證明了 費瑪最後定 理 "大概" 無解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-瑪利埃‧勒讓德 延伸熱爾曼的 證明，證明 了 n=5 無解 8. 1839年 加布裏爾‧拉梅 Gabriel Lam e 證明了 n=7 無解 9 . 1847年 拉梅 與 奧古斯汀‧路易斯‧科西 A ugus ti Louis Cauchy 同時宣稱已經證明了 費瑪最後定理 最後是劉維爾宣讀了 恩斯特‧庫默爾 Ernst Kummer 的信，說科西與拉梅的證明，都因爲「虛 數沒有唯一因子分解性質」而失敗 庫默爾證明了 費瑪最後定理的完整證明 是 當時數學 方法不可能實現的 10.1 908年 保羅‧沃 爾夫斯凱爾 Paul Wolfskehl 補救了庫默爾的證明 這表示 費瑪最後定理的完整證明 尚未被解決 沃爾夫 斯凱爾提供了 10萬馬克 給提供證明的人，期限是到200 7年9月13日止 11.1900年8月8 日 大衛‧希爾伯特， 提出數學上2 3個未解決的問題且相信這是迫切需要解決 的重要問題 12.193 1年 庫特‧ 哥德爾 不可判定性定理 第一不可判定性定 理：如果公理集合論是相容的，那麽存在 既不能證明又不能否定的 定理。 => ; 完全性是不可 能達到的 第二不可判 定性定理：不 存在能證 明公理系統是相容的構造性過程。 =>; 相容性永遠不可能證明 1 3.1963年 保羅‧科恩 Paul Cohen 發展了可以檢驗給定問題是不是不可判定的方法（只適用少數情形） 證明希爾伯特23個問題中 ，其中一個「連續 統假設」 問題是不可判定的，這 對於費瑪最後定理 來說是一大打擊 14 .1940年 阿倫‧圖靈 Alan Turing 發明破譯 Enigma編碼 的反轉機 開始有人利 用暴力解決方法，要對 費 瑪最後定理 的n值一個一個加以證明。 15.1988年 內奧姆‧ 埃爾基斯 Naom El kies 對於 Euler 提出的 x4+y4+z 4=w4 不存在解這個推想，找到了一個反例 26824404+1536563 94+1879 604=2 06156734 16.19 75年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 師承 約翰‧科次，研究橢圓曲線 研究橢圓曲線的目的是 要算出他們的整數 解，這跟費瑪最後定理一樣 ex: y2=x3-2 只有一組整數解 52=33-2 ( 費瑪證明宇宙中指存在一個數26，他是夾 在一個平方數與一個立 方數中間 ) 由 於要直接找出橢圓曲線是很 困難的，爲了簡化問題，數學家採用「時鐘運算」方法 在五格時鐘運算中， 4+2=1 橢圓方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的解爲 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) ( 1, 4)，然後可用 E5=4 來代表在五格 時鐘運算中，有四個解 對 於橢圓曲線，可寫出一個 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.195 4年 至村五郎 與 谷山豐 研究具有非同尋常的對稱性的 modular for m 模型式 模型式的 要素可從1開始標號 到無窮（M1, M2, M3, . ..） 每個模型式的 M序列 要素個 數 可寫成 M1=1 M2=3 .... 這樣的 範例 195 5年9月 提出模型式的 M序列 可 以對應到橢圓曲線的 E序列，兩個不同 領域的理論突然 被連接在一起 安德列‧韋依 採納這 個想法，「谷山-志村 猜想」 18.朗蘭茲提出「朗蘭茲綱領」的計畫，一個統一化猜想的理論，並開始尋找統 一的環鏈 19.19 84年 格哈德‧弗賴 Gerhard Frey 提出 (1) 假設費瑪最 後定理是錯的，則 xn+yn=zn 有整數解， 則可將方程式轉 換爲y2=x3+(AN -BN)x2-ANBN 這樣的橢圓方程 式 (2) 弗賴橢圓方程式太古怪了，以致於無法被模型 式化 (3) 谷山-志村猜想 斷言每一個橢圓方程式都可以被模型 式化 (4) 谷山 -志村猜想 是錯誤的 反過來說 (1) 如果 谷山-志村猜想 是對的，每一個橢圓方程式都可以被模型 式化 (2) 每一個橢圓方程式都可以被模型式化，則不存 在弗賴橢圓方程式 (3) 如果不存在弗賴橢圓方程 式，那麽xn+yn =zn 沒有整數解 (4) 費瑪最後定理 是對的 20 .1986年 肯‧貝裏特 證明 弗 賴橢圓方程式 無法被模型式化 如果有人能夠證明谷山-志村猜想，就表示費瑪最後定理也 是正確的 21.19 86年 安德魯‧懷爾斯 And rew Wiles 開始一個小陰謀，他每隔6個月發表一篇小論 文，然後自己獨力嘗試證明 谷山-志村猜想，策略是利用歸納法 ，加上 埃瓦 裏斯特‧伽羅瓦 的群論，希望能將E序列以「自然次序」一 一對應到M序列 22.1 988年 宮岡洋一 發表利用微分幾何學證明谷山 -志村猜想，但結果失敗 23.1989年 安德魯‧懷 爾斯 A ndrew Wiles 已經將橢圓方程 式拆解成無限多項， 然後也證 明了第一項必定 是模型式 的第一項， 也嘗試利用 依娃沙娃 Iwasawa 理論，但結 果失敗 24.19 92年 修 改 科利 瓦金-弗萊 契 方法，對所有分類後的橢圓方 程式都奏效 25.1993年 尋求同事 尼克‧凱茲 Nick Katz 的協助， 開始對驗證證明 26 .1993年5月 「L -函數和算術」會議，安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 發表谷山-志村猜想的證明 27.1993年9 月 尼克‧凱茲 Nic k Katz 發現一個重大缺陷 安德魯‧懷爾斯 A ndre w Wiles 又開始 隱居，嘗試獨力解決 缺陷，他不希望在這時 候公布證明，讓 其他人分享完成證明的甜美果實 2 8.安德魯‧懷爾斯 A ndrew Wiles 在接近放棄的邊緣，在彼得‧薩納克的建議下，找到理查德‧泰勒的協助 29.1994年9月19日 發現 結合 依娃沙娃 Iw asaw a 理論與 科利瓦金-弗萊契 方法就能 夠完全解決問題 30.「谷山- 志村猜想」被證明了，故得證「費瑪 最後定理」< br/> ii 費馬大定理 3 00多年以前，法國數學家費馬在一本書 的空白處寫下了一個定理：“設n是大于2的 正整數，則不定方程 xn+yn=zn沒有非零整數解”。 費馬宣稱他發現了這個定理的一 個真正奇妙的證 明，但因書上空白太小，他寫不下他 的證明。300多年過去了，不知有多 少專業數學家和業余數學愛好者絞盡腦汁企圖證明它 ，但不是無功而返就是進展甚微。這就是純 數學中最著名 的定理—費馬 大定理。 費馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇色彩的數學家，他最初學習法律並以當律 師謀生，後來成爲議會議員，數學只不過是他的業余愛好，只能利用閑暇來研究。雖然年近30才 認真注意數學， 但費馬對 數論和微積分做出了第一流的貢獻。他與笛卡兒幾乎同時創立了解析幾何，同時又是17世紀興 起的概率論的探索者之一。費馬特別愛好數論，提出了許多定理，但費馬只對其中一個定理給出了證明要點，其他定理除一個被證 明是錯的，一個未被證明外，其余的陸續被後來的數學家所證實。這唯一未被證 明的定理就是 上面所說的費馬大定理，因爲是最 後一個未被證 明對或錯的定理，所以又稱爲費馬最後定理 。 費 馬大定理雖然至今仍沒有完全被證明，但已經有了很大進 展，特別是最近幾十年，進展更快。19 76年瓦格斯塔夫證明 了對小于105的素數費馬大定理都成立。1983年一位年輕的德國數學家法爾廷斯 證明了不定方 程xn+yn=zn只能 有有限多組解，他 的突出貢獻使他在1986年獲得了數學界的最高獎 之一費爾茲獎。1993年英國數學家威爾斯 宣布證明了費馬大定 理，但隨後發現了證明中的一 個漏洞並作了修正。 雖然威爾斯證明費馬大定理還沒有得到數學界的一致公認，但大多數數學 家認爲他證明的思路是正確 的。毫無疑問，這使人們看到了希望。< br/> 爲了尋求費馬大定理的解答，三個多世紀以來，一代又一代的數學家們前赴後繼，卻壯志未酬。1995年，美國普林斯頓大學 的安德魯·懷爾斯教授經過8年的孤軍奮戰，用1 3 0 頁長的篇幅證明了費馬大定理。懷爾斯成爲整個數學界的英雄。 費馬大定理提出的問題非常簡單， 它是用一個每個中學 生都熟悉的數學定理——畢達 哥拉斯定理——來表達的。2000多年前誕生的 畢達哥拉斯定理 說：在一個直角三角形中 ， 斜邊的 平方等于兩直角邊 的平方之和 。即X2＋Y2=Z2。大約在 公元1637年前後 ，當費馬在 研究畢達哥拉斯 方程時，他寫下一個方程，非常類似于畢達哥拉 斯方程：Xn＋Yn=Zn, 當n 大于 2時，這個方程沒有任何整 數解。費馬在《算術》這本書的靠近問題8的頁邊 處記下這 個結論的同時又寫下一個附 加的評注：“對 此，我確信已發現一個美妙的證法，這裏的空 白太小，寫不下。”這就是數學史上著名的費馬大定理或稱費馬最後的定理。費馬制造了 一個數學史上最深奧的謎。 大問題 在 物理學、化學或生物 學中，還沒 有任何問題可 以敘述得如此簡單和清晰，卻長久不 解。E·T ·貝爾(Eric Temple Be ll)在他的《大問題》(The Last Prob lem) 一書中寫到， 文明世界也許在費馬大定理得以解決之前就已走到了盡頭。證明費馬大定理成爲數論中最 值得爲之 奮鬥的事。 安德魯·懷爾斯1953年出生在英國劍橋，父 親是一位工程學 教授。少年時代 的懷爾斯 已 著迷于數學了。他在後來的回憶中寫到： “在學校 裏我喜歡 做題目，我 把它們帶回家， 編寫成我自己的新題目。不過我以前找到的最好的題 目是在我們社區的圖書館裏 發現的。 ” 一天，小懷爾斯在彌爾頓街上的圖書館看見了一本書，這本 書只有一個問題而沒有解答 ,懷爾斯被吸引住了。 這就是E·T·貝 爾寫的《大問題》。它敘述了 費馬大定理的曆史，這個 定理讓一個又 一個的數學家望而生畏，在長達30 0多年的時間裏沒有人能解決它。懷爾斯30多年後回憶 起被引向費馬大定理時 的感覺：“它看上去如此簡單，但 曆史上所有的大數 學家都未能解 決它。這裏正擺著我— —一個10歲的孩子 ——能理解的問 題，從那個時刻起，我知道我 永 遠 不會放棄它。我必須解決它。” 懷爾斯1974年從牛 津大學的Merton學 院獲得數學學士學位，之後進入 劍橋大學Clare 學院做博 士。在研究生階段，懷爾斯並沒有從事費馬大定理研究。他說：“研究費馬可 能 帶 來的問題是：你花費了多年的時間而最 終一事無成。我的導師約翰·科 茨(John Coate s)正在研究橢 圓曲線的Iwasawa理論，我 開始跟隨他工作。” 科 茨說：“ 我記得一 位同事 告訴我，他有一個非常好的、剛完成數學學士榮譽學位第三部考試的學生，他催促 我收其 爲學生。我非常榮幸有 安德魯這樣的學生。即使 從對研究生的 要求來看，他也有很深 刻的 思想，非常清楚他將是一個做大事情的 數學家。當然，任 何研究生在那個階段直接 開始研 究費馬 大定理是不可能的，即 使對資曆很深的數學家 來說，它也太困難了。”科茨的責任 是爲懷爾斯找到某種至少能使他在今後三年裏有興趣 去研究的問題。他說：“我認爲研究 生導師能爲學生做的一切就是設法把他推向一個 富有成果的方向。當 然，不能保證它一定 是一個富有成果的研究方向，但是也許 年長的數學家在 這個過程中能做的一件事是使用他 的 常識、他對好領域的 直覺。然後，學生能在這個方向上有多大成績就是他自己的事了。 ” 科茨決定懷爾斯應該研 究數學中稱爲橢圓曲線的領 域。這個決定成爲懷爾斯 職業生涯中的 一個轉折 點，橢圓方程的研究是他實現夢想的工具。 孤獨的戰 士 1980年懷 爾斯在劍橋大 學取得博士學 位後來到了美國普 林斯頓大學，並成 爲這所大學 的教授。在科茨的指導下，懷爾斯或許比世界上其他 人都更懂得 橢圓方程 ，他已經 成爲一 個著名的數論學家，但他 清楚地意識到 ，即使以他廣博的基礎知識和數 學修養，證明費馬 大定理的任務也 是極爲艱巨 的。 在懷爾斯的費馬 大定理的證明中，核心是證明“谷山－志村猜想”，該猜想在兩 個非 常不同的數學領 域間建立了一座新的橋梁。“那是1986年夏末的一個傍晚，我正在一個朋 友家中啜飲冰茶。談話間他隨意告 訴我，肯·裏貝 特已經證明了谷山－志村猜想與費馬大 定理間 的聯系。我感到極大的震 動。我記得那個時刻，那個改變我生命曆程的時刻， 因爲 這意味著爲了證明 費馬大定理，我必 須做的一切就是證明谷山－志村猜想……我十分清楚 我應該回家去研究谷山－志村猜想。”懷爾斯望見了一條實現他童年夢想的道路 。 20世紀初，有人問 偉大的數學家大衛·希爾伯特爲 什麽不去 嘗試證明費馬大定理 ，他 回答說：“在開始著手之前，我必須用 3年的時間作深入的研究，而我沒有那麽多的時間 浪費在一件可 能會失敗的事情上。”懷 爾斯知道，爲了 找到證明， 他必須全身 心地投入到 這個問題中，但是與希爾伯特不一樣，他願意冒這個風險。 懷爾斯 作了一個重大的決定 ：要完全獨立和保密地進行研究。他說： “我意識到 與費 馬大 定理有關的任何事情都會引起太多人的興趣。你 確實不可能很多年都使自己精力集中 ， 除非你的專心不被他人分散，而這一點會因旁觀者太多而做不到。”懷爾斯 放棄了所有 與證明費馬大定理無直接關系的工作，任何時候只要可能他就回到家裏 工作，在家裏的頂 樓書房裏他 開始了通過谷 山－志村猜想來證明費馬 大定理的戰鬥。 這是一場 長達7年的持久 戰，這期間只有他的妻 子知道他在證明費馬大定理。 歡呼與等待 經過7年的努力，懷爾斯完成了谷山－志村猜想的證明。作爲一個結果，他也證明了 費馬大 定理。現在是向世界公布的時候了。1993年6月底 ，有一個重要的會議要在劍橋大 學的牛頓研究所舉行。懷爾斯決定利用這個機會向一 群傑出的聽衆宣布他 的工作。 他選擇 在牛頓研究所宣布的另 外一個主 要原因是劍橋是他的家鄉 ，他曾經是那裏的一名研 究生。 1993年6月 23日，牛頓研究所 舉行了20世紀最重要的一次數學講座。兩百名數學家聆 聽了這一演講，但他們之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘字母和代數式所表達 的意思。其余的人來這裏是爲了見證他們所期待的一個真正具有意義的時刻。演講者是安 德魯· 懷爾斯。懷爾斯回憶起演講最後 時刻的情景：“雖然新聞界已經刮起有 關演講的風 聲，很幸運他們沒有來聽演講。但 是聽衆中有人拍攝了演講 結束時的鏡頭，研究 所所長肯 定事先就准備了一瓶香槟酒。當我宣讀證明時，會場上 保持著特別莊重的寂 靜，當我寫完 費馬大定理的證明時，我說 ：‘我想我就在這裏結束’，會場上爆發出一陣 持久的鼓掌聲 。” 《紐約時報》在頭版以《終于歡呼“我發現了!”，久遠的 數學之謎獲解》爲題報道 費馬大定理被證 明的消息。一夜之間，懷爾斯成爲世界上最著名的數學家，也是唯一的數 學 家。《人物》雜志將懷爾斯與戴安娜王妃 一起列爲“本年度2 5位最具魅力者”。 最有創 意的贊美來自一家國際 制衣大公司，他們邀請這位溫文爾雅的 天才作他們新系列男裝的模 特。 當懷爾斯成爲媒 體報道的中心時，認真核對這個證明的工作也在進行。科學的程序要 求任何數學家將完整的手稿送交一個有聲 望的刊物，然後這個刊物的編輯將它送交一組審 稿人，審稿 人的職責是進行逐行的審查證明。懷爾斯將手稿投到《數學發明》， 整整一個 夏天他焦急地等待審稿人的意見，並祈求 能得到他們 的祝福。可是，證明的一個 缺陷被發 現了。 我 的心靈歸于平靜 由于懷爾斯的論文涉及到大量的數學方法，編 輯巴裏·梅休爾決定不像 通常那樣指定 2－3個審稿人，而 是6個審稿人。200頁的 證明被分成6章，每位 審稿人負責其中一章。 懷爾斯在此期間中斷了他的工作，以處理審稿人在電子郵件中提出的問題 ，他自信這 些 問題不會給他造成很大的麻煩。尼 克·凱茲負責審查第3 章，19 93年8 月23日 ，他發現了< br/> 證明中的一個小缺陷。數學的絕對主義要求懷爾斯無可 懷疑地證明他的方法中的每一步都 行得通。懷爾斯以 爲這又是一個小問題，補救的辦法可 能就在近旁，可 是6個多月過去了 ，錯誤仍未改正，懷爾斯面臨絕境，他准備 承認失敗。他向同事彼得· 薩克說明自己的情 況，薩克向他暗示困難的一部分在于他缺少一個能夠和他 討論問題並且可信賴的人。 經過 長時間的考 慮後，懷爾斯決定邀請劍橋大學的講師理 查德·泰勒到普林斯頓和他一起工作 。 泰勒1994年1月份 到普林斯頓， 可是到了9月，依然沒有結果，他 們准備放棄了。泰勒 鼓勵他們 再堅持一個月。懷爾斯決定在9月底作最後一次檢查。9月19日， 一個星期一的早 晨 ，懷爾斯發現 了問題的答案，他敘述了這一時刻：“突然間，不可思議地，我有了一個 難以置信的發現。這是我的事業中最重 要的時刻，我不會再有這樣的經曆… …它的美 是如 此地難以形 容；它又是如此簡 單和優美。20多分鍾的時間我呆望它不敢相信。然後白天我 到系裏轉了一圈，又回 到桌子旁看看它是否還在——它還在那裏。” 這是 少年時代的夢 想和8年潛心努力的終 極，懷爾斯終于向世界證 明了他的才能。 世 界不再懷疑這一次的證明了。這兩篇論文 總共有130頁，是曆史上核查得最徹底的數學稿 件，它們發表 在1995年5月的《數學年刊》上。懷爾斯 再一次出現在《紐約時報》的頭版 上，標 題是《數學家稱經典之謎已解決》。 約翰·科茨說： “用數學的術 語來說，這 個最 終 的證明可與分裂原子或發現DNA的結構相 比，對費馬大定 理的證明是人 類智力活動的一 曲凱歌， 同時，不能忽視的事實 是它一下子就使數學發生了革命性的變化。對我說來，安 德魯成 果的美和魅力在于它是走向代數數論的巨大 的一步。”< br/> 聲望和榮譽紛至沓來。1995年 ，懷爾斯獲得瑞典皇家學會 頒發的Schock數學獎，199 6年，他獲得沃 爾夫獎，並當選爲美國科 學院外籍院士。< br/> 懷爾斯說 ：“……再沒有別的問題 能像費馬大定理一樣對我有同樣的意義。我擁有如 此少有的特權 ，在我的成年時期實現我童年的夢想 ……那段特殊漫長的探索已 經結束了 ， 我的心已歸于平靜。”< br/> 費馬大定理只有在相對數學理論的建立之後，才會得到最滿意的答案。相對數學理 論沒有完成之前，談這個問題是無力地. 因爲人們對數量和自身的認識，還沒有達到一定的高度. ii i 費馬大 定理與懷爾斯的因果律-美 國公衆廣播網對懷爾 斯的專訪 358年的難解之謎 數學愛好者 費馬提出的這個問 題非常簡單，它用一個每 個中學生都熟悉的數學定理——畢達哥拉斯定 理來表達。2000多年前誕生的畢達哥拉斯定理說：在一 個直角三角形中，斜邊的平方等于兩個直角邊的平方之和。即X2+Y 2=Z2。大約 在公元1637年前後 ，當費馬在研究畢達哥拉斯方 程時，他在《算術 》這本書靠近 問題8的頁邊處寫下了這段 文字：“設n是大于2的正整數，則 不定方程xn+yn=zn沒有非整數解，對此，我確信 已發現一個美妙的證法，但 這裏的空白太小，寫不下。”費馬習 慣在頁邊寫下猜想，費馬大 定理是其中困擾數學家們 時間最長的，所 以被稱爲F ermat’s Last Theorem（ 費馬最後的定理）——公認爲有史以來最 著名的數學猜想。< br/> 在暢銷書作家西蒙·辛格（Simon Singh）的筆下，這段神秘留言引發的長達35 8年的獵逐充滿了驚險、懸疑、絕望和狂喜。這段曆史先後涉及 到最多産的數學大師歐拉、最偉大的數學家高斯 、由業余轉爲職業數學家的柯西 、英年早逝的天才伽羅瓦、 理論兼試驗大師庫默 爾和被譽 爲“法國曆史上知識最爲高 深的女性” 的蘇菲·姬爾曼……法國數學天才 伽羅瓦的遺言、日本數學界的明日之星谷山豐的神 秘自殺、德國數 學愛好者保羅·沃爾 夫斯凱爾最後一 刻的舍死求生等等，都 仿佛是冥冥間上帝 導演的宏大戲劇中的一幕，爲最後謎底的解開埋下伏筆。終于，普林斯頓的 懷爾斯出 現了。他找到謎底，把這出戲推向高潮並戛然而止，留下一段耐人回味的傳奇。 對懷爾斯而言，證明費馬大 定理不僅是破譯一個難解之謎，更是 去實現一個兒時的夢想。“我10歲時在圖書館找到一本數學書，告訴我有這麽一個問題，300多 年前就已經有人解決了 它，但卻沒有人看到 過它的證明，也無人確信是否有這個證明，從那以後，人們就不斷 地求證。這是一個10歲小孩就能明白的問題 ，然後曆史上諸多偉 大的數學家們卻不能解答。于是從那時起，我就 試過解決它，這個問題就是 費馬大定理。” 懷爾斯于19 70年先後在牛 津大學和劍橋大學獲得數學學士和數 學博士學位。“我進入劍橋時，我真 正把費馬大定理擱在 一邊了。這不是因爲我忘了它， 而是我認識到我們所掌握的用來攻克它的全部技術已經 反複使用 了130年。而這些技術似乎沒有觸及問 題根本。”因爲擔心耗 費太多時間而一無所獲，他“暫時放下了”對費馬大定理的思索，開始研究橢圓曲線理論——這個看似與證明費馬大定理不相關的理論後來卻成爲他實現夢想的工具。 時間回溯至20 世紀60年代，普林斯頓數學 家朗蘭茲提 出了一個大膽的猜想：所有主要數學領域之間原本 就存在著的統一的鏈接。如果這 個猜想被證實，意味著在 某個數學領域中無法解 答的任何問題都有可能通過這種鏈接被轉換成另一個領域中 相應的問題——可以被一整套新方案解決的問題。而如果在另一個領域內仍然難以找到答案，那麽可以 把問題再轉換到下一個數學領域中……直 到它被解決爲止。根據朗蘭茲綱領，有一天 ，數學家們將能夠解 決曾經是最深奧最難對 付的問題——“辦法是領 著這些問題周遊數學 王國的各個風景勝地”。這個綱領爲飽受哥德爾不完備定理打擊的費馬大 定理證明者們指明了救贖 之路——根據不完備定理，費馬大定理是不可證明的。 懷爾斯後來正是依賴于這個綱領才得以證明費馬大定理的：他的證明——不同于任何前人的嘗試——是現代數學諸多分支（橢圓曲線論，模形式理論，伽羅華表示理論等等)綜合發揮作用的結果。20世紀50年代由兩位日本數學家（谷山 豐和志村五郎）提出的谷山—志村猜 想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：橢 圓方程與模形式兩 個截然不同的數學島嶼間隱藏著一座溝通的橋梁。隨後在19 84年，德國數學家格哈德·費賴（Gerh ard Frey）給出了 如下猜想： 假如谷山—志村猜想成立，則費馬大定理爲真。這個猜想緊接著在1986年被肯· 裏貝特（Ken Ri bet）證明。從此，費馬大定理不可擺 脫地與谷山—志村猜 想鏈接在一起：如 果有人能證明谷山—志村猜想（即“每一個橢圓方程都 可以模形式化”），那麽就證明了費馬大定 理。 “人類智力活動的一曲凱歌” 懷爾斯詭秘 的行蹤讓普林斯頓 的著名數學家同事們困惑。彼得·薩奈克（Pet er Sarnak）回憶說： “ 我常常奇怪懷 爾斯在做些什麽？……他總是靜悄悄的，也許 他已經‘黔驢技窮’了。”尼克·凱茲則感歎到：“一點暗示都沒有！”對于這次驚天“大預謀”，肯·裏比特（Ken Ribet)曾評 價說：“這可能是我平生來見過的唯一例 子，在如此長的時間裏沒有泄露任何有關工作 的信息。這是空前的。 1993年晚春， 在經過反複的 試錯和絞盡腦 汁的演算，懷爾斯終于完成了谷山 —志村猜想的證明。作爲一個結果，他也 證明了費馬大定理。 彼得·薩奈克是最早得知此 消息的人之一，“我目瞪口呆、異常激動、情 緒失常……我記得當晚我失眠了”。 同年6月 ，懷爾斯決定在劍橋 大學的大型系列講座上宣布這一證明。 “講座氣氛很 熱烈，有很多數學界重要人 物到場，當大家終于明白已經離證明費馬大 定理一步之遙時 ，空氣中充滿 了緊張。” 肯·裏比 特回憶說。巴裏 ·馬佐爾（Ba rry Mazur） 永遠也忘不了那一刻：“我之前從未 看到過如此精彩的講座，充 滿了美妙的、聞所未聞的新思想，還有戲劇性的鋪 墊，充滿懸念，直到最後 到達高潮。”當懷爾斯在講座結尾宣布他證明了費馬大定理時，他成了全世界媒體的焦點。《紐約時報》在頭版以《 終于歡呼“我發現了!”久遠的數學之 謎獲解》（“ At Last Sho ut of ‘Eureka!’ in Ag e-Old Math Mys tery”）爲題報道費馬大定理被證明的消息。一夜之間，懷爾斯成爲世界上唯一的數學 家。《人物》雜志將 懷爾斯與 戴安娜王妃一起列爲 “本年度25位最具 魅力者”。 與此同時，認真 核對這個證明的工作也在進行。遺憾 的是，如同這之前的“費馬大定理終 結者”一樣，他的證明是有缺陷的。懷爾斯現在 不得不在巨大的壓力之下修正錯誤，其間數度感到 絕望。John Conway曾在美國公衆廣播網（PBS）的訪談中說: “當 時我們其他 人（懷爾斯的同事） 的行爲有點像‘蘇聯政體研究者’，都 想知道他的想法和修正錯 誤的進展，但沒有人開口 問他。所 以，某人會說，‘我今天早上看到 懷爾斯了。’‘他露出笑容了嗎 ？’‘他倒是有 微笑，但看起來並不高 興。’” 撐到199 4年9月時，懷爾斯准備放棄了。但他臨時邀請的研究搭檔泰勒鼓勵 他再堅持一個月。就在 截止日到來之前兩周， 9月19日 ，一個星期一的早晨，懷爾斯發現 了問題的答 案，他敘述 了這一時刻： “突然間， 不可思議地 ，我發現 了它……它美得難以 形容，簡單而優雅。我對著它發了20多分鍾呆。然後我到系裏轉了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在那裏—— 它確實還在那裏。” 懷爾斯 的證明爲他贏得了最慷慨的褒揚，其中最具代 表性的是他 在劍橋時的導師、著名數學家約翰·科茨的評價：“它 （證明）是人類智 力活動的一曲凱歌”。 一場曠 日持久的獵逐就此結 束，從此費馬大定理與安德魯·懷爾斯的名字緊緊地被綁在了一 起，提到一個就不 得不提到另外一個。這是費 馬大定理與安德魯·懷爾斯的因果律。 曆時八年的最終證明 在懷爾斯不多的接受媒體采訪中 ，美國公衆廣播網（PBS）NOVA節目對懷爾斯的專訪 相當精彩有趣，本 文節選部分以飨讀者。 七年孤獨 NOVA：通常人們通過團隊來獲得工作上的支持，那麽 當你碰壁時是怎麽解 決問題的呢？ 懷爾斯：當我被卡住時我會沿著湖邊散散步，散步的好處是 使你會處于 放松狀態，同時 你的潛意識卻在繼續工作。 通常遇到困擾時你並不需要書桌，而且 我隨時把筆紙帶上，一旦有好主意我會找個長椅 坐下來打草稿…… NOVA：這七年一定交織著自我懷疑與成功… …你不可能絕對有 把握證明。 懷爾斯：我 確實相信自己在正確的軌道上，但 那並不意味著我 一定能達到目標——也許僅 僅因爲解決難題的方法超出現有的數學，也 許我需要的方法 下個世紀也不會出現。所以即便我在正 確的軌道上，我卻可能生活在錯誤的 世紀。 NOVA：最終在199 3年，你取得了突破。 懷爾斯： 對，那是個 5月末的早上。Nada ，我的太太，和孩子們出去了。我坐在書桌前思考最後 的步驟，不經意間看到了一 篇論文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一個19世紀的數 學結構，我霎時意識到這就是我該用的。我不停地工作，忘 記下樓午飯，到下午三四點時我確信已經證明了費馬 大定理，然後下樓。Nad a很吃驚，以爲我 這時才回家，我告訴她，我解決了費馬大定理。 最後的 修正 NO VA：《紐約時報》在頭版以《終 于歡呼“我發現了!”， 久遠的數學之謎獲解》，但 他們並不知道 這個證明中有個錯誤。 懷爾斯： 那是個存在于關鍵推導 中的錯誤 ，但它如此微 妙以至于我忽略了。它很抽象， 我無法用簡單的語 言描述， 就算是數學 家也需要研習兩三個月才 能弄懂。 NOVA ：後來你邀請劍橋的數學家理查德·泰 勒來協助工作，並在1994年修正了這個最後 的錯誤。問題是，你 的證明和費馬的證明是同一個嗎？ 懷爾斯：不可能。這個證明有15 0頁長，用的 是20世紀的方法，在費馬時代還不存 在。 NOVA：那就是說費馬的最初證明還在某個未被發 現的角落？ 懷爾斯：我不相信他有證明。我覺得他說已經找到解答了是在哄自己。這個難題 對業余愛 好者如此特別在于它可能被 17世紀的數學 證明，盡管可能性極其微小。 NOVA ：所以也許還有數學家 追尋這最初的證明。你該怎麽辦呢？ 懷爾斯：對我來說都一樣 ，費馬是我童年的熱望。我 會再試其他問題…… 證明了它我 有一絲傷感，它已經和我們一起這 麽久了……人們對我說“你把我的問題奪走了”，我能帶給他們其他的東西嗎？我感覺到有責任。我希望通過解決這個 問題帶來的興奮可以激勵青年數學 家們解決其他許許多多的難題。 iv 谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了橢圓曲線(代數幾何的對象)和模形式( 某種數論中用到的周期性全 純函數)之間的重要聯系。雖然名字是從谷山 -志村猜想而來,定理的證明是由安德魯·懷 爾斯, C hris toph e Breuil, Brian Conrad, Fr ed Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一個質 數而E是 一個Q(有理數域)上的一個橢圓曲線，我們可以簡化定義E的方程模p;除 了有限個p值，我 們會得到有n p個元素 的有限域Fp上的一個橢圓曲線。然後考慮如下序列 ap = np − p, 這是橢圓曲線E的重要的不變量。從傅裏 葉變換，每個模形式也會産生一個數列。一個其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做模的。 谷山-志村定說: "所 有Q上的 橢圓曲線是模的"。 該定理在1955年9月由谷 山豐提出猜想。到1957 年爲止，他和 志村五郎一起改進了嚴格性。谷山于19 58年自殺身亡。在1 960年代，它和統一數學中 的猜想Lang lands綱領聯系了起來 ，並是關鍵的組成部分。 猜想由André Weil于1970年代重新提起並得到推廣，Weil的名字有一段時 間和它聯系在一起。盡管有明顯的用處，這個問題的深度在後來的發展之前並未被人們所感覺到。 在198 0年代當Gerhard Freay建議谷山-志村 猜想(那時還是猜想)蘊 含著費馬最後定理 的時候，它吸引到 了不少注意力。他 通過試圖表明費爾 馬大定理的任 何範例會導致一個非模的橢圓 曲線來做到這 一點。Ken Ribet後來 證明了這一結果。在1995年，Andrew Wile s和Richard T aylor證 明了谷山-志村定理的一個特殊情況(半穩定橢圓曲線的情況) ，這個特殊情況足以證明費爾馬大定 理。 完整的證明最後于1999年由Br euil,Conrad,Diamond,和 Taylor作出，他們在Wiles的基礎上，一塊一塊的逐步證明剩下的情況直到全部 完成。 數論中類似于費爾馬最後定理得幾個定理可以從 谷山-志村定理 得到。例如:沒有 立方可以寫成兩個互質n次冪的和, n ≥ 3. (n = 3的情況 已爲歐拉所知) 在1996年三月，Wiles和R obert Langlan ds分享了沃爾夫獎。雖然他們都沒有完 成給予他們這個成就的定理的完整形式，他們還是被認爲對最終完成的證明有著決 定性影響。 “我又给 您装了两枚美人果，您不 管是自己用，还是卖，都 是可以的。”说到这里，她顿了顿，笑着道：“老祖，那个虎坤龟的大龟壳 实在太大了， 我们没人能弄开，所以……这活就交给您了，回头您弄好了， 赏我一个趁手的龟盾就 行！”
